還記得瑪麗蓮•沃斯•莎凡特（Marilyn vos Savant）嗎？她是吉尼斯世界記錄認定的最高IQ人類，在雜誌《Parade》上開過一個名叫“問問瑪麗蓮”（Ask Marilyn）的專欄，專門解決讀者的各種疑難雜題，最著名的自然是“ 三門問題 ” ，她高明且不可思議的回答讓無數人傷透了腦筋。不過常在河邊站哪有不濕鞋，就是這樣一個“IQ最高”的人，也有糊塗的時候。來看看這道連瑪莉蓮都回答錯的題吧。

2002年3月31日的“問問瑪莉蓮”專欄上刊登了這麼一道趣題：你正在圖書館枯坐，一位陌生美女主動過來和你搭訕，並要求和你一起玩個數學遊戲（這不是死理性派最期待的嘛）。美女提議：“讓我們各自亮出硬幣的一面，或正或反。如果我們都是正面，那麼我給你3元，如果我們都是反面，我給你1元，剩下的情況你給我2元就可以了。”那麼該不該和這位姑娘玩這個遊戲呢？這基本是廢話，當然該。問題是，這個遊戲公平嗎？

有人就這麼算起來了：正反的組合有四種等概率的情況，出現其中兩種情況我要付出2＋2＝4 元,出現另外兩種情況可以得到3＋1＝4元，不虧不賺，這是個公平的遊戲嘛。那就玩唄，更何況人家是美女。

這樣想的老兄不是太單純就是因為幸福來得太突然被沖昏了大腦。在這裡他天真地假定每人都以相等的概率出正反面。還是女人了解女人，瑪莉蓮就想到了美女可以控制正面出現的概率，她給出解答說：“你不能和她玩這個遊戲吶，她只要以1／3的概率出正面，2／3的概率出反面，每6次遊戲你就輸1元喲。”

畫出收益矩陣（payoff matrix），可以算出“好運”的你每次的期望收益真的是－1／6元，如此看來，這還真不是個公平遊戲。

瑪莉蓮的故事結束了，但是好戲才剛剛開始。且不說美女是否一定就用這個”1／3的概率出正面，2／3的概率出反面”的方案，就是對於瑪莉蓮給出的美女策略，死理性派也完全可以把它變成一個公平的遊戲。

顯然瑪莉蓮這次低估了死理性派的智商，難道只有美女會控制頻率嗎？對於瑪莉蓮版本的美女，我們完全可以一直出反面，三次遊戲中我們平均可以得到1＋1 元，失去2元，收支平衡，遊戲變得公平了。

需要指出的是，這個遊戲確實不是公平的，只不過瑪麗蓮採用了錯誤的分析方法。

人們在玩遊戲的時候總會自己制定一些策略。在博弈論中，策略（strategy）有兩種，一種是確定的，稱為純策略（pure strategy），在什麼情況下出什麼牌、做出什麼選擇都已經定好，只需要照章辦事。另一種是隨機的，叫作混合策略（mixed strategy），給你的所有動作都定一個概率，按概率隨機從中選一個。人們在說到隨機的時候，直覺上傾向於認為各種情況等概率出現，而有時候，控制某些情況出現的概率卻會產生神奇的效果。上面我們已經看到瑪莉蓮就採用了混合策略，而我們又想出了新的混合策略來應對。

任何一個遊戲中，玩家們都會想方設法讓自己的利益最大化，有時甚至作出出人意料的決定，這讓遊戲的局勢變得錯綜複雜，典型的例子就是“ 海盜分金問題 ” 。可在這複雜的關係下，存在一個驚人的規律，那就是在有限人的遊戲中，總存在這樣一種情況，每個人都能採取一種策略，使得他的利益不能再增大了。這就是博弈論中重要的納什均衡（Nash Equilibrium）。納什均衡分為純策略納什均衡（pure strategy Nash equilibrium）和混合策略納什均衡（mixed strategy Nash equilibrium），前一種是所有玩家都採取純策略，後一種則是至少有一人採取混合策略。

回到美女請你玩遊戲這個問題。列出我們的收益矩陣：

在m行n列的收益矩陣a中，存在如下不等式：

當它能取到等號時，遊戲存在純策略納什均衡。簡單來說就是玩家都能夠採取固定的策略(比如一直出正面或者一直出反面)，使得每人都賺得最多或虧得最少。否則只存在混合策略納什均衡。而在這個問題中，行最小值的最大值（－2）不等於列最大值的最小值（1）,所以這個遊戲只存在混合策略納什均衡。

假設我們出正面的概率是x，反面的概率是1－x。為了使利益最大化，應該在對手出正面或反面的時候我們的收益都相等，不然對手總是可以改變正反面出現的概率讓我們的總收入減少，由此列出方程就是

3x + (-2)*（1-x）=(-2) * x + 1*( 1-x )

解方程得x＝3／8,也就是說平均每八次出示3次正面, 5次反面是我們的最優策略。而將x＝ 3／8代入到收益表達式3*x + (-2)*(1-x) 中就可得到每次的期望收入，計算結果是－1／8元。

類似的，列出美女的收益矩陣。

設美女出正面的概率是y，反面的概率是1－y，列方程

-3y + 2( 1-y )= 2y + (-1) * ( 1-y )

解得y也等於3／8，而美女每次的期望收益則是2（1-y）- 3y = 1／8元。這告訴我們，在雙方都採取最優策略的情況下，平均每次美女贏1／8元。

其實只要美女採取了（3／8,5／8）這個方案，不論你再採用什麼方案，都是不能改變局面的。如果全部出正面，每次的期望收益是（3＋3＋3－2－2－2－2－2）／8＝－1／8元；如果全部出反面，每次的期望收益也是（－2－2－ 2＋1＋1＋1＋1＋1）／8＝－1／8元。而任何策略無非只是上面兩種策略的線性組合，所以期望還是－1／8元。但是當你也採用最佳策略時，至少可以保證自己輸得最少。否則，你肯定就會被美女採用的策略針對，從而賠掉更多，比如上述瑪麗蓮的解答。

另外借助於計算機模擬這個遊戲，我們也可以輕而易舉地得到一樣的結論。這裡附上一個這樣的小程序，算是另一個證明吧。

說到這裡，美女之心，路人皆知了。不過既然是主動送上門，而你又不會輸得太多，不妨考慮採用最佳策略慢慢陪她玩吧。說不定這個美女足夠聰明，察覺到了你早已洞察一切卻依然紳士，好感油然而生，改變心意了呢。